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  3. 太平洋上有一个圆形的平坦小岛，岛上遍布森林，闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾（如图所示）。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进，问当大火烧到小岛中心位置时，过火面积占全岛面积的比例大约是多少：

太平洋上有一个圆形的平坦小岛，岛上遍布森林，闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾（如图所示）。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进，问当大火烧到小岛中心位置时，过火面积占全岛面积的比例大约是多少：

admin2022-03-30  23
问题 太平洋上有一个圆形的平坦小岛，岛上遍布森林，闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾（如图所示）。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进，问当大火烧到小岛中心位置时，过火面积占全岛面积的比例大约是多少：
选项 A、45%
B、40%
C、35%
D、30%
答案B
解析 第一步，本题考查几何问题，平面几何类。
第二步，当大火烧到小岛中心位置时，火线的半径（BA、BD、BC）等于森林的半径（DA和DC），所以三角形ABD为等边三角形，四边形ABCD为菱形。在等边三角形DAB中，角ADO等于60度，所以AO=AD/sin60°=r，AC=2AO=r，菱形ABCD的面积等于1/2AC×BD=1/2×r×r=r2，扇形DABC圆心角为120°，所以面积为120/360πr2=1/3πr2=1/3πr2。扇形DABC面积减去菱形ABCD等于两个弓形的面积为1/3πr2－r2，过火的面积等于扇形的面积加上两个弓形的面积为1/3πr2+1/3πr2－r2=2/3πr2－r2。森林的面积为πr2。
第三步，过火面积占全岛面积的比例为，π取3.14，该比例约为40％。

因此，选择B选项。
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