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太平洋上有一个圆形的平坦小岛,岛上遍布森林,闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾(如图所示)。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进,问当大火烧到小岛中心位置时,过火面积占全岛面积的比例大约是多少:
太平洋上有一个圆形的平坦小岛,岛上遍布森林,闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾(如图所示)。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进,问当大火烧到小岛中心位置时,过火面积占全岛面积的比例大约是多少:
admin
2022-03-30
28
问题
太平洋上有一个圆形的平坦小岛,岛上遍布森林,闪电击中处于小岛边缘的树木引发森林火灾(如图所示)。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进,问当大火烧到小岛中心位置时,过火面积占全岛面积的比例大约是多少:
选项
A、45%
B、40%
C、35%
D、30%
答案
B
解析
第一步,本题考查几何问题,平面几何类。
第二步,当大火烧到小岛中心位置时,火线的半径(BA、BD、BC)等于森林的半径(DA和DC),所以三角形ABD为等边三角形,四边形ABCD为菱形。在等边三角形DAB中,角ADO等于60度,所以AO=AD/sin60°=
r,AC=2AO=
r,菱形ABCD的面积等于1/2AC×BD=1/2×r×
r=
r
2
,扇形DABC圆心角为120°,所以面积为120/360πr
2
=1/3πr
2
=1/3πr
2
。扇形DABC面积减去菱形ABCD等于两个弓形的面积为1/3πr
2
-
r
2
,过火的面积等于扇形的面积加上两个弓形的面积为1/3πr
2
+1/3πr
2
-
r
2
=2/3πr
2
-
r
2
。森林的面积为πr
2
。
第三步,过火面积占全岛面积的比例为
,π取3.14,该比例约为40%。
因此,选择B选项。
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