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设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1。线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则【 】
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1。线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则【 】
admin
2015-09-12
48
问题
设向量β可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
。线性表示,记向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β,则【 】
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
C、α
m
可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
D、α
m
可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.
答案
B
解析
解 由题设条件,存在常数k
1
,k
2
,…,k
m
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=β (*)
且必有k
m
≠0(否则k
m
=0,则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示,这与已知条件矛盾).于是得
即α
m
可由(Ⅱ)线性表示.
另一方面,如果α
m
可由(Ⅰ)线性表示:
α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m一1
α
m一1
将上式代入(*)式,则得
β=(k
1
+k
m
λ
1
)α
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)α
2
+…+(k
m一1
+k
m
λ
m一1
)α
m一1
即β可由(Ⅰ)线性表示,这与已知条件矛盾,故α
m
不能由(Ⅰ)线性表示.
综合以上两方面的结果,即知(B)正确.
本题主要考查线性表示的概念及对向量之间线性关系的推理.注意,在讨论向量之间的线性关系时,反证法是一个常用的方法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GqU4777K
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考研数学三
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