2. 考研
  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【 】

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【 】

admin2015-09-12  22
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【    】
选项 A、αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．
答案B
解析 解  由题设条件，存在常数k1，k2，…，km使得
    k1α1+k2α2+…+kmαm=β         (*)
    且必有km≠0(否则km=0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得
   
即αm可由(Ⅱ)线性表示．
    另一方面，如果αm可由(Ⅰ)线性表示：
    αm=λ1α1+λ2α2+…+λm一1αm一1将上式代入(*)式，则得
    β=(k1+kmλ1)α1+(k2+kmλ2)α2+…+(km一1+kmλm一1)αm一1即β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾，故αm不能由(Ⅰ)线性表示．
    综合以上两方面的结果，即知(B)正确．
本题主要考查线性表示的概念及对向量之间线性关系的推理．注意，在讨论向量之间的线性关系时，反证法是一个常用的方法．
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考研数学三

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