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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最
admin
2016-03-16
72
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=3x
1
2
+ax
2
2
+3x
1
2
一4x
1
x
2
—8x
1
x
3
—4x
2
x
3
，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f在条件x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1下的最小值，并求最小值点(x
1
，x
2
，x
3
)；
(Ⅲ)如果A
*
+kE是正定矩阵，求k的取值。
选项
答案
[*] 得到矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=7，λ
3
=一2。对λ=7，解齐次方程组(7E—A)x=0得基础解系α
1
=(1，一2，0)
T
，α
2
=(1，0，一1)
T
，对λ=一2，解齐次方程组(一2E—A)x=0得基础解系α
3
=(2，1，2)
T
。因为α
1
，α
2
不正交，故需施密特正交化，有 [*] x
T
Ax=y
T
Ay=7yα
1
2
+7yα
2
2
一2yα
3
2
(Ⅱ)条件x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1，即x
T
x=1。而x
T
x=(Qy)
T
(Qy)=y
T
Q
T
Qy=y
T
y，可知f在条件x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1下的最小值，即为f在条件y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=1下的最小值。由于f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=7y
1
2
+7y
2
2
一2y
3
2
≥一2(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)，[*] (Ⅲ)因为矩阵A的特征值为7，7，一2。所以｜A｜=一98，那么A
*
的特征值为一14，一14，49。从而A
*
+kE的特征值为k一14，k一14，k+49。因此，k＞14时，A
*
+kE正定。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GzT4777K
0
考研数学三
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