设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3,其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最

admin2016-03-16  31

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3,其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用正交变换;
(Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最小值,并求最小值点(x1,x2,x3);
(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩阵,求k的取值。

选项

答案[*] 得到矩阵A的特征值是λ12=7,λ3=一2。对λ=7,解齐次方程组(7E—A)x=0得基础解系α1=(1,一2,0)T,α2=(1,0,一1)T,对λ=一2,解齐次方程组(一2E—A)x=0得基础解系α3=(2,1,2)T。因为α1,α2不正交,故需施密特正交化,有 [*] xTAx=yTAy=7yα12+7yα22一2yα32(Ⅱ)条件x12+x22+x32=1,即xTx=1。而xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy,可知f在条件x12+x22+x32=1下的最小值,即为f在条件y12+y22+y32=1下的最小值。由于f(x1,x2,x3)=xTAx=7y12+7y22一2y32≥一2(y12+y22+y32),[*] (Ⅲ)因为矩阵A的特征值为7,7,一2。所以|A|=一98,那么A*的特征值为一14,一14,49。从而A*+kE的特征值为k一14,k一14,k+49。因此,k>14时,A*+kE正定。

解析
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