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设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明: 矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明: 矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;
admin
2014-02-06
45
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα一2A
2
α.证明:
矩阵B=(α,Aα,A
4
α)可逆;
选项
答案
由于A
3
α=3Aa一2A
2
α,故A
4
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=7A
2
α一6Aα.若k
1
α+k
2
Aα+k3A
4
α=0,即k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0,亦即k
1
α+(k
2
—6k
3
)Aα+7k
3
A
2
α=0,因为α,Aα,A
2
α线性无关,故[*]所以,α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆.
解析
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考研数学三
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