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  3. 设随机变量(ξ，η)的密度函数为 　　 试求(Ⅰ)(ξ，η)的分布函数； (Ⅱ)概率P()．

设随机变量(ξ，η)的密度函数为 　　 试求(Ⅰ)(ξ，η)的分布函数； (Ⅱ)概率P()．

admin2016-01-25  83
问题 设随机变量(ξ，η)的密度函数为
　　
试求(Ⅰ)(ξ，η)的分布函数；
(Ⅱ)概率P()．
选项
答案(1)将φ(x，y)定义域中的边界线段延长为直线，它们将整个平面分成5个子区域： [*] ① D1：x≤0或y≤0时， F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝[*]0dxdy＝0． ②D2：0＜x≤1，0＜y≤2时， F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y) [*] [*] ③D3：x＞1，0＜y≤2时， F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X＜1，0＜Y≤y) [*] [*] ④D4：0＜X≤1，y＞2时， F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0＜X≤x，0≤Y≤2) [*] [*] ⑤D5：x＞1，y＞2时， F (x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X≤1，0≤Y≤2) [*] [*]
解析 连续型随机变量(ξ，η)的概率密度为φ(x，y)，则分布函数F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝φ(x，y)dxdy．若φ(x，y)的取值不分区域，则求二次积分即可求出F(x，y)；若φ(x，y)分区域定义时，则先绘出φ(x，y)取非零值的区域D，再将其边界线段延长为直线，于是它们将整个平面分成若干个子区域，然后再根据P((ξ，η)∈G)＝φ(x,y)dxdy，其中G为子区域与φ(x，y)取非零值的定义域的交集，求出各个小区域上的分布函数的表达式，即得F(x，y)．
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考研数学三

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