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设随机变量(ξ,η)的密度函数为 试求(Ⅰ)(ξ,η)的分布函数; (Ⅱ)概率P().
设随机变量(ξ,η)的密度函数为 试求(Ⅰ)(ξ,η)的分布函数; (Ⅱ)概率P().
admin
2016-01-25
58
问题
设随机变量(ξ,η)的密度函数为
试求(Ⅰ)(ξ,η)的分布函数;
(Ⅱ)概率P(
).
选项
答案
(1)将φ(x,y)定义域中的边界线段延长为直线,它们将整个平面分成5个子区域: [*] ① D
1
:x≤0或y≤0时, F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=[*]0dxdy=0. ②D
2
:0<x≤1,0<y≤2时, F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) [*] [*] ③D
3
:x>1,0<y≤2时, F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=P(0≤X<1,0<Y≤y) [*] [*] ④D
4
:0<X≤1,y>2时, F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=P(0<X≤x,0≤Y≤2) [*] [*] ⑤D
5
:x>1,y>2时, F (x,y)=P(X≤x,Y≤y)=P(0≤X≤1,0≤Y≤2) [*] [*]
解析
连续型随机变量(ξ,η)的概率密度为φ(x,y),则分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=
φ(x,y)dxdy.若φ(x,y)的取值不分区域,则求二次积分即可求出F(x,y);若φ(x,y)分区域定义时,则先绘出φ(x,y)取非零值的区域D,再将其边界线段延长为直线,于是它们将整个平面分成若干个子区域,然后再根据P((ξ,η)∈G)=
φ(x,y)dxdy,其中G为子区域与φ(x,y)取非零值的定义域的交集,求出各个小区域上的分布函数的表达式,即得F(x,y).
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考研数学三
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