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某闸门的性状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少米?
某闸门的性状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少米?
admin
2018-04-14
77
问题
某闸门的性状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少米?
选项
答案
方法一:如图一建立坐标系,则抛物线的方程为y=x
2
。 闸门矩形部分承受的水压力 P
1
=2∫
1
h+1
ρg(h+1-y)dy=2ρg[(h+1)y-[*]]|
1
h+1
=ρgh
2
, 其中ρ为水的密度,g为重力加速度。闸门矩形下部承受的水压力 [*] P
2
=2∫
0
1
ρg(h+1-y)[*]dy-2ρg[2/3(h+1)y
5/2
-[*]y
5/2
]|
0
1
[*] 由题意知P
1
/P
2
=5/4,解得h=2,h=-1/3(舍去)。 故h=2,即闸门矩形部分的高应为2米。 方法二:如图二建立坐标系,则抛物线的方程为x=h+1-y
2
。闸门矩阵部分承受的水压力为P
1
=2∫
0
h
ρgxdx=ρgh
2
,闸门矩形下部承受水压力P
2
=2∫
h
h+1
ρgx[*]dx。 [*] 令[*]=t,得 P
2
=4ρg∫
0
1
(h+1-t
2
)t
2
dt=4ρg[(h+1)[*]]|
0
1
[*] 由题意知P
1
/P
2
=5/4,解得h=2,h=-1/3(舍去)。 故h=2,即闸门矩形部分的高应为2米。
解析
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考研数学二
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