2. 考研
  3. 某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?

某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?

admin2018-04-14  60
问题 某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?
选项
答案方法一：如图一建立坐标系，则抛物线的方程为y=x2。 闸门矩形部分承受的水压力 P1=2∫1h+1ρg(h+1－y)dy=2ρg[(h+1)y－[*]]|1h+1=ρgh2， 其中ρ为水的密度，g为重力加速度。闸门矩形下部承受的水压力 [*] P2=2∫01ρg(h+1－y)[*]dy－2ρg[2／3(h+1)y5／2－[*]y5／2]|01 [*] 由题意知P1／P2=5／4，解得h=2，h=－1／3(舍去)。 故h=2，即闸门矩形部分的高应为2米。 方法二：如图二建立坐标系，则抛物线的方程为x=h+1－y2。闸门矩阵部分承受的水压力为P1=2∫0hρgxdx=ρgh2，闸门矩形下部承受水压力P2=2∫hh+1ρgx[*]dx。 [*] 令[*]=t，得 P2=4ρg∫01(h+1－t2)t2dt=4ρg[(h+1)[*]]|01 [*] 由题意知P1／P2=5／4，解得h=2，h=－1／3(舍去)。 故h=2，即闸门矩形部分的高应为2米。
解析
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考研数学二

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