某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?

admin2018-04-14 54

问题某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?

选项

答案方法一：如图一建立坐标系，则抛物线的方程为y=x²。闸门矩形部分承受的水压力 P₁=2∫₁^h+1ρg(h+1－y)dy=2ρg[(h+1)y－[*]]|₁^h+1=ρgh²，其中ρ为水的密度，g为重力加速度。闸门矩形下部承受的水压力 [*] P₂=2∫₀¹ρg(h+1－y)[*]dy－2ρg[2／3(h+1)y^5／2－[*]y^5／2]|₀¹ [*] 由题意知P₁／P₂=5／4，解得h=2，h=－1／3(舍去)。故h=2，即闸门矩形部分的高应为2米。方法二：如图二建立坐标系，则抛物线的方程为x=h+1－y²。闸门矩阵部分承受的水压力为P₁=2∫₀^hρgxdx=ρgh²，闸门矩形下部承受水压力P₂=2∫_h^h+1ρgx[*]dx。 [*] 令[*]=t，得 P₂=4ρg∫₀¹(h+1－t²)t²dt=4ρg[(h+1)[*]]|₀¹ [*] 由题意知P₁／P₂=5／4，解得h=2，h=－1／3(舍去)。故h=2，即闸门矩形部分的高应为2米。

解析

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考研数学二

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考研数学二

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