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试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根?分别在什么范围内?
试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根?分别在什么范围内?
admin
2015-06-12
92
问题
试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根?分别在什么范围内?
选项
答案
问题中没有给出所要考察的区间,注意到函数中出现了因子(x-1),(x-2),(x-3),可以先考察区间 [a,b]=[1,2],此时 f(1)=(1-2)(1-3)=2>0, f(2)=(2)-(3)(2-1)=-1<0, 因此f(1).f(2)<0,由零点定理可知在(1,2)内必定存在一点x
1
,使f(x
1
)=0。 同样,考察[a,b]=[2,3],此时f(3)=(3-1)(3-2)=2>0, f(2)=(2-3)(2-1)=-1<0, 因此f(3).f(2)<0,由零点定理可知在(2,3)内必定存在一点x
2
,使f(x
2
)=0且x
1
<x
2
。 又由于f(x)为二次函数,而二次方程f(x)=0至多有两个实根,因此可知x
1
,x
2
即为所给方程的两个实根,且分别在(1,2)与(2,3)内。
解析
所给问题为判定方程根的存在性与范围问题.可以考虑利用闭区间上连续函数的零点定理,为此先构造连续函数f(x)=(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)。
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