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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于,x2∈[0,1],有
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于,x2∈[0,1],有
admin
2016-10-20
38
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于
,x
2
∈[0,1],有
选项
答案
联系f(x
1
)-f(x
2
)与f’(x)的是拉格朗日中值定理.不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1.分两种情形: 1)若x
2
-x
1
<[*],直接用拉格朗日中值定理得 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f’(ξ)(x
2
-x
1
)|=|f’(ξ)||x
2
-x
1
|<[*] 2)若x
2
-x
1
≥[*],当0<x
1
<x
2
<1时,利用条件f(0)=f(1)分别在[0,x
1
]与[
2
,1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0,x
1
),η∈(x
2
,1)使得 |f(x
2
)-f(x
2
)|=|[f(x
1
)-f(0)]-[f(x
2
)-f(1)]| ≤|f(x
1
)-f(0)|+|f(1)-f(x
2
)| =|f’(ξ)x
1
|+|f’(η)(1-x
2
)| <x
1
+(1-x
2
)=1-(x
2
-x
1
)≤[*] ① 当x
1
=0且x
2
≥[*]时,有 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f(0)-f(x
2
)|=|f(1)-f(x
2
)|=|f’(η)(1-x
2
)|≤[*] ②当x
1
≤[*]且x
2
=1时,同样有 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f(x
1
)-f(1)|=|f(x
1
)-f(0)|=|f’(ξ)(x
1
-0)|≤[*] 因此对于任何x
1
,x
2
∈[0,1]总有|f(x
1
)-f(x
2
)|<[*]
解析
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0
考研数学三
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