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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于，x2∈[0，1]，有

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于，x2∈[0，1]，有

admin2016-10-20  43
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于，x2∈[0，1]，有
   
选项
答案联系f(x1)-f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形： 1)若x2-x1＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x1)-f(x2)｜=｜f’(ξ)(x2-x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2-x1｜＜[*] 2)若x2-x1≥[*]，当0＜x1＜x2＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得 ｜f(x2)-f(x2)｜=｜[f(x1)-f(0)]-[f(x2)-f(1)]｜ ≤｜f(x1)-f(0)｜+｜f(1)-f(x2)｜ =｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1-x2)｜ ＜x1+(1-x2)=1-(x2-x1)≤[*] ① 当x1=0且x2≥[*]时，有 ｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(0)-f(x2)｜=｜f(1)-f(x2)｜=｜f’(η)(1-x2)｜≤[*] ②当x1≤[*]且x2=1时，同样有 ｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(x1)-f(1)｜=｜f(x1)-f(0)｜=｜f’(ξ)(x1-0)｜≤[*] 因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有｜f(x1)-f(x2)｜＜[*]
解析
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考研数学三

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