设向量组I:α1,α2,...,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,...,βs线性表示.下列命题正确 的是

admin2013-02-27  20

问题 设向量组I:α1,α2,...,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,...,βs线性表示.下列命题正确
的是

选项 A、若向量组I线性无关,则r≤s.
B、若向量组I线性相关,则r>s.
C、若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.
D、若向量组Ⅱ线性相关,则r>s.

答案A

解析 因为向量组I可由Ⅱ线性表出.所以
r(α1,α2,...,αr)≤r(β1,β2,...,βs)≤s.
如果向量组1线性无关,则r(α1,α2,...,αr)=r.可见(A)正确。
若α1=(1,0,0)T,α2=(0,0,0)T,β1=(1,0,0)T,β2=(0,1,0)T,β3=(0,1,0)T,可知(B)不
正确。
若α1=(1,0,0)T,α2=(2,0,0)T,α3=(3,0,0)T,β1=(1,0,0)T,β2=(0,1,0)T,可知(C)不正确.
关于(D),请同学举一个简单的反例说明其不正确.如:当向量组1只包含(0,0)T,向量组Ⅱ由(1,0)T与(0,0)T组成时,便可否定选项(B)与(D).
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