若f(一x)=f(x)(一∞

admin2013-07-05  23

问题 若f(一x)=f(x)(一∞’(x)>0,f"(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有(    ).

选项 A、f(x)>0,f"(x)<0  
B、f(x)>0,f"(x)>0
C、f(x)<0,f"(x)<0  
D、f(x)<0,f(x)>0

答案C

解析 [解法一]由f(一x)=f(x)(一∞’(x)>0且f"(x)<0知,f(x)的图形在(一∞,0)内单调上升且是凸的;由对称性知.在(0,+∞)内,f(x)的图形单调下降,且是凸的,所以应选C.[解法二]由f(一x)=f(x)可知-f(一x)=f(x),f"(一x)=f"(x)当x∈(0,+∞)时,一x∈(一∞,0),此时由题设知f(一x)<0,fsup>"(一x),故fsup>’(x)<0,fsup>"(x)<0,xEE(0,+∞),应选C.[解法三]排除法.例如取f(x)=一xsup>2,易验证f(x)符合原题条件,计算可知A、B、D三个选项均不正确,故应选C.[解法四]由题设可知,(x)是一个二阶可导的偶函数,从而fsup>’(x)为奇函数,fsup>"(x)为偶函数,因在(一∞,0)内fsup>’(x)>0,fsup>"(x)<0,故在(0,+∞)内fsup>’(x)<0,fsup>"(x)<0,即应选C.
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