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  3. 若f(一x)=f(x)(一∞

若f(一x)=f(x)(一∞

admin2013-07-05  36
问题 若f(一x)=f(x)(一∞’(x)>0，f"(x)<0，则f(x)在(0，+∞)内有(    )．
选项 A、f’(x)>0，f"(x)<0  
B、f’(x)>0，f"(x)>0
C、f’(x)<0，f"(x)<0  
D、f’(x)<0，f’(x)>0
答案C
解析 [解法一]由f(一x)=f(x)(一∞’(x)>0且f"(x)<0知，f(x)的图形在(一∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知．在(0，+∞)内，f(x)的图形单调下降，且是凸的，所以应选C．[解法二]由f(一x)=f(x)可知-f’(一x)=f’(x)，f"(一x)=f"(x)当x∈(0，+∞)时，一x∈(一∞，0)，此时由题设知f’(一x)<0，fsup>"(一x)，故fsup>’(x)<0，fsup>"(x)<0，xEE(0，+∞)，应选C．[解法三]排除法．例如取f(x)=一xsup>2，易验证f(x)符合原题条件，计算可知A、B、D三个选项均不正确，故应选C．[解法四]由题设可知，(x)是一个二阶可导的偶函数，从而fsup>’(x)为奇函数，fsup>"(x)为偶函数，因在(一∞，0)内fsup>’(x)>0，fsup>"(x)<0，故在(0，+∞)内fsup>’(x)<0，fsup>"(x)<0，即应选C．
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考研数学三

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