设f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f”(x)≠0．证明： (1)对于任意的x∈(一1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

admin2017-10-19 78

问题设f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f”(x)≠0．证明：
(1)对于任意的x∈(一1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

选项

答案(1)由拉格朗日中值定理，对任意x∈(1，一1)，x≠0，存在θ∈(0，1)使 f(x)=f(0)+xf’(θx)，(θ与x有关)．又由f“(x)连续且f”(x)≠0，故f”(x)在(1，一1)不变号，所以f’(x)在(1，一1)严格单调，θ唯一． (2)由(1)中的式子，则有 [*] 由上式可得θ的表达式，并令x→0取极限得 [*]

解析

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考研数学三

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