设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

admin2011-10-28 110

问题设向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，作线性组合β₁=α₁+μ₁α_s，β₂=α₂+μ₂α_s，…，β_s-1=α_s-1+μ_s-1α_s，则向量组β₁，β₂，…，β_s-1线性无关，其中s≥2，μ_i为任意实数．

选项

答案证明设存在k₁，k₂，…，k_s-1，使得k₁β₁+k₂β₂+…+k_s-1β_s-1=θ，即k₁(α₁+μ₁α_s)+k₂(α₂+μ₂α_s)+…+k_s-1(α_s-1+μ_s-1α_s)=θ，展开整理得： k₁α₁+k₂α₂+…+k_s-1α_s-1+(k₁μ₁+k₂μ₂+…+k_s-1μ_s-1)α_s=θ，由题设，α₁，α₂，…，α_s线性无关，所以 k₁=k₂=…=k_s-1=k₁μ₁+k₂μ₂+…+k_s-1μ_s-1=0，故β₁，β₂，…，β_s-1线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

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