已知双曲线C:.过点(1,1)作直线l,使l与C只有一个交点,满足这个条件的直线l共有[ ]条.

admin2014-11-07  32

问题 已知双曲线C:.过点(1,1)作直线l,使l与C只有一个交点,满足这个条件的直线l共有[    ]条.

选项 A、l
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 过点(1,1)且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)+1.将y代入C的方程,得
    (4一k2)x2+2(k2一k)x-(k2-2k+5)=0.    (*)
    若k=±2,方程(*)可分别解出一个x,即有两条符合条件的直线.若k≠±2,(*)式为二次方程,其判别式
    △=4(k2一k)2+4(4一k2)(k2-2k+5)-4(-8k+20).当时,△=0,l与C有一公共点.
    综上,共有4条直线满足条件,其中2条分别平行于双曲线的渐近线(k=±2),另两条分别与双曲线的右支相切.结合图形不作上述计算也可得到选项(D).
    故选D.
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