求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y′+y=1； (Ⅱ)y′=； (Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0； (Ⅳ)y′=

admin2016-10-26 39

问题求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y′+

y=1；
(Ⅱ)y′=

；
(Ⅲ)x²ydx－(x³+y³)dy=0；
(Ⅳ)y′=

选项

答案(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘[*]，得 [*] 积分得 y=x²[*]+x²，其中C为任意常数． (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为[*]－yx=y³，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e^∫－ydy=[*]得[*]．积分得 x=[*]－y²－2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为[*]．这还是一个伯努利方程．令u=x³，原方程又可改写为[*]u=3y²．而[*]，于是两边同乘μ=[*]dy+C=3ln｜y｜+C，即x³=Cy³+3y³ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy′=[*] [*]．即得通解为 y²=C(x－1)－(x－1)ln｜x－1｜+1，其中C为任意常数．

解析

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考研数学一

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