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求下列微分方程的通解: (Ⅰ)y′+y=1; (Ⅱ)y′=; (Ⅲ)x2ydx-(x3+y3)dy=0; (Ⅳ)y′=
求下列微分方程的通解: (Ⅰ)y′+y=1; (Ⅱ)y′=; (Ⅲ)x2ydx-(x3+y3)dy=0; (Ⅳ)y′=
admin
2016-10-26
64
问题
求下列微分方程的通解:
(Ⅰ)y′+
y=1;
(Ⅱ)y′=
;
(Ⅲ)x
2
ydx-(x
3
+y
3
)dy=0;
(Ⅳ)y′=
选项
答案
(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程,两边同乘[*],得 [*] 积分得 y=x
2
[*]+x
2
,其中C为任意常数. (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数,则该方程可改写为[*]-yx=y
3
,这也是一个一阶线性非齐次方程,两边同乘μ=e
∫-ydy
=[*]得[*].积分得 x=[*]-y
2
-2,其中C为任意常数. (Ⅲ)显然这是一个齐次方程,利用齐次方程的解法可以得到其通解.这里若将x看作y的函数,原方程可改写为[*].这还是一个伯努利方程.令u=x
3
,原方程又可改写为[*]u=3y
2
.而[*],于是两边同乘μ=[*]dy+C=3ln|y|+C,即x
3
=Cy
3
+3y
3
ln|y|,其中C为任意常数. (Ⅳ)这是伯努利方程,此方程可改写为2yy′=[*] [*]. 即得通解为 y
2
=C(x-1)-(x-1)ln|x-1|+1,其中C为任意常数.
解析
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考研数学一
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