设方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)Bx=0,则两方程组为同解方程组的充分必要条件是( ).

admin2019-06-11  49

问题 设方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)Bx=0,则两方程组为同解方程组的充分必要条件是(    ).

选项 A、A,B的列向量组可以相互表示
B、A,B的行向量组可以相互表示
C、A,B的秩相等
D、矩阵A,B等价

答案B

解析 选项B,A,B的行向量组各自代表两个方程组的方程,将两个方程组联立,在消元过程中,若A的行向量组可以线性表示B的行向量组,则可以消去向量组(Ⅱ)的所有方程,因此,方程组(Ⅰ)的解也一定是方程组(Ⅱ)的解.反之,若B的行向量组可以线性表示A的行向量组,则方程组(Ⅱ)的解也一定是方程组(Ⅰ)的解,从而知两方程组同解.故选B.
选项A,两方程组解的关系取决于代表各自方程组的行向量组,与列向量组无关.
选项C,两方程组同解则系数矩阵的秩相等,但仅由系数矩阵的秩相等不能说明两方程组解之间的任何关系.
选项D,矩阵A,B等价是指两矩阵可以通过初等变换相互转换,因此必定同行同列,但两方程组同解,其系数矩阵未必同行同列.
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