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设a>e,0<x<y<,求证ay—ax>(cosx—cosy)axlna.
设a>e,0<x<y<,求证ay—ax>(cosx—cosy)axlna.
admin
2017-10-23
35
问题
设a>e,0<x<y<
,求证a
y
—a
x
>(cosx—cosy)a
x
lna.
选项
答案
令f(t)=a
t
,g(t)=cost,在区间[x,y]上应用柯西中值定理,即知存在满足0<x<ξ<y<[*]的ξ,使得 [*] 由于a
x
<a
ξ
,0<sinξ<1,故由上式可得 a
y
—a
x
> (cosx一cosy)a
x
lna.
解析
把不等式改写成
注意到(a
x
)’=a
x
lna,(cosx)’=一sinx,而|sinx|≤1.对f(t)=a
t
,g(t)=cost,应用柯西中值定理即可.
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考研数学三
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