设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

admin2022-12-09 23

问题设α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，又β≠0且α₁，α₂，α₃，β线性相关，
令A=(α₁，α₂，α₃4)

(Ⅰ)证明：β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，α₃为两两正交的非零向量，所以α₁，α₂，α₃线性无关，又因为α₁，α₂，α₃，β线性相关，令β=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=l₁α₁+l₂α₂+l₃α₃，有 (k₁-l₁)α₁+(k₂-l₂)α₂+(k₃-l₃)α₃=0，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以k₁-l₁=0，k₂-l₂=0,k₃-l₃=0，即k₁=l₁，k₂=l₂ k₃=l₃，所以β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示． (Ⅱ)设β=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃，即β=(α₁，α₂，α₃)[*](其中k₁，k₂，k₃唯一)，则 Aβ=(α₁，α₂，α₃)[*] 因为α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，所以[*](α₁，α₂，α₃)=E．从而Aβ=(α₁，α₂，α₃)[*]=β，于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

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