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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
admin
2022-12-09
41
问题
设α
1
，α
2
，α
3
为两两正交的单位向量，又β≠0且α
1
，α
2
，α
3
，β线性相关，
令A=(α
1
，α
2
，α
3
4)
(Ⅰ)证明：β可由α
1
，α
2
，α
3
唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
选项
答案
(Ⅰ)因为α
1
，α
2
，α
3
为两两正交的非零向量，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关， 又因为α
1
，α
2
，α
3
，β线性相关，令β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
， 有 (k
1
-l
1
)α
1
+(k
2
-l
2
)α
2
+(k
3
-l
3
)α
3
=0， 因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以k
1
-l
1
=0，k
2
-l
2
=0,k
3
-l
3
=0，即k
1
=l
1
，k
2
=l
2
k
3
=l
3
，所以β可由α
1
，α
2
，α
3
唯一线性表示． (Ⅱ)设β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
，即β=(α
1
，α
2
，α
3
)[*](其中k
1
，k
2
，k
3
唯一)， 则 Aβ=(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 因为α
1
，α
2
，α
3
为两两正交的单位向量，所以[*](α
1
，α
2
，α
3
)=E． 从而Aβ=(α
1
，α
2
，α
3
)[*]=β， 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．
解析
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考研数学三
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