2. 考研
  3. 设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令A=(α1，α2，α34) (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

admin2022-12-09  59
问题 设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，
令A=(α1，α2，α34)
(Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
选项
答案(Ⅰ)因为α1，α2，α3为两两正交的非零向量，所以α1，α2，α3线性无关， 又因为α1，α2，α3，β线性相关，令β=k1α1+k2α2+k3α3=l1α1+l2α2+l3α3， 有 (k1-l1)α1+(k2-l2)α2+(k3-l3)α3=0， 因为α1，α2，α3线性无关，所以k1-l1=0，k2-l2=0,k3-l3=0，即k1=l1，k2=l2 k3=l3，所以β可由α1，α2，α3唯一线性表示． (Ⅱ)设β=k1α1+k2α2+k3α3，即β=(α1，α2，α3)[*](其中k1，k2，k3唯一)， 则 Aβ=(α1，α2，α3)[*] 因为α1，α2，α3为两两正交的单位向量，所以[*](α1，α2，α3)=E． 从而Aβ=(α1，α2，α3)[*]=β， 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．
解析
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考研数学三

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