2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=的图象过坐标原点O，且在点(一1，f(一1))处的切线的斜率是一5． 对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由．

已知函数f(x)=的图象过坐标原点O，且在点(一1，f(一1))处的切线的斜率是一5． 对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由．

admin2017-10-16  2
问题 已知函数f(x)=的图象过坐标原点O，且在点(一1，f(一1))处的切线的斜率是一5．
对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由．
选项
答案假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧． 不妨设P(t，f(t))(t＞0)，则Q(一t，t3+t2)，显然t≠1． ∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴[*]=0， 且一t2+f(t)(t3+t2)=0(1)． 若方程(1)有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程(1)无解，不存在满足题设要求的两点P、Q． 若0＜t｛1，则f(t)=一t3+t2代入(1)式得：一t2+(一t3+t2)(t3+t2)=0， 即t4一t2+1=0，而此方程无解，因此t＞1，此时，f(t)=alnt， 代入(1)式得：一t2+(alnt)(t3+t2)=0即[*]=(t+1)lnt(2)， 令h(x)=(x+1)lnx(x≥1)，则h’(x)=lnx+[*]一+1＞0， ∴h(x)在[1，+∞)上单调递增， ∵t＞1，∴h(t)＞h(1)=0∴h(t)的取值范围是(0，+∞)． ∴对于a＞0，方程(2)总有解，即方程(1)总有解． 因此，对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
解析
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