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一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人,经过n次传球后,球在甲手中的概率为Pn,请写出Pn的递推关系式,并求Pn.
一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人,经过n次传球后,球在甲手中的概率为Pn,请写出Pn的递推关系式,并求Pn.
admin
2019-01-31
27
问题
一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人,经过n次传球后,球在甲手中的概率为P
n
,请写出P
n
的递推关系式,并求P
n
.
选项
答案
由甲、乙等5个人参加相互传球游戏,经过n次传球,则有4
n
种传球方法,假设第n次传球后球在甲手中的传球方法有a
n
种,球不在甲手中的传球方法有b
n
种,则a
n
+b
n
=4
n
.第n—1次传球后,如果球在甲的手中,则第n次传球后,球一定不在甲的手中,此时球从甲手中传出去有4种可能.第n—1次传球后,如果球不在甲的手中,则第n次传球后,球有可能传到甲的手中.经过n次传球后,如果球传到甲的手中,则可知第n次传球的方向是确定的(一定是传向甲).所以第n次传球后球在甲手中的传球方法a
n
等于第n—1次传球后球不在甲手中的方法b
n—1
.又由a
n
+b
n
=4
n
可推出a
n—1
+b
n—1
=4
n—1
,所以a
n—1
+a
n
=4
n—1
。此式子变形后为:a
n—1
—[*].因为开始时球在甲手中,所以第一次传球后,球在甲手中的方法a
1
=0.由此可得:[*],公比为—1的等比数列,由此可知a
n
—[*]×(—1)
n—1
。故a
n
=[*]. 因为总的传球方法是4
n
种,所以第n次传球后,球在甲手中的概率P
n
=[*]. 递推关系式: P
n
—P
n—1
=[*].
解析
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