要制造一个谷物贮存器,其形状为下部为正圆柱形,顶部为半球形,设谷物只能贮存在圆柱部分,又设用来制造圆柱部分的材料的单价为c(元/平米),半球形部分的单价为2c(元/平米),今规定贮存器贮存容量为a(立方米),问如何选取圆柱形的尺寸才能使造价最低?

admin2014-04-17  21

问题 要制造一个谷物贮存器,其形状为下部为正圆柱形,顶部为半球形,设谷物只能贮存在圆柱部分,又设用来制造圆柱部分的材料的单价为c(元/平米),半球形部分的单价为2c(元/平米),今规定贮存器贮存容量为a(立方米),问如何选取圆柱形的尺寸才能使造价最低?

选项

答案设圆柱的高为h,底面半径为r,则贮存器材料的造价为C=(2πrh+7m1)c+[*]2c=2πrh+5πr2,又依题意m2h=a,即h=[*],代入上式得C=[*]+5πcr2,(0<r<+∞),C’(r)=[*],令C’(r)=0,得r=[*],又因为根据实际情况C在(0,+∞)内存在最小值,且驻点唯一,所以当r=[*]时,C取到最小值,此时h=[*],而[*]=5,所以当h=5r时,造价最小。

解析
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