设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

admin2013-10-11 34

问题设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f^’(ξ)=0．

选项

答案由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2]上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，从而[*]，由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使[*]，由已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此f(η)=f(3)=1，η∈[0，21，由罗尔定理知存在ξ∈(η，3)[*][0，3)，使f^’(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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