计算x2dydx＋y2dzdx＋z2dxdy，其中∑：(x－1)2＋(y－1)2＋z2／4＝1(y≥1)，取外侧.

admin2021-08-31 9

问题计算

x²dydx＋y²dzdx＋z²dxdy，其中∑：(x－1)²＋(y－1)²＋z²／4＝1(y≥1)，取外侧.

选项

答案令∑₀：y＝1(D_xz：(x－1)²＋z²／4≤1)，取左侧，则原式＝[*]x²dydz＋y²dzdx＋z²dxdy－[*]x²dydz＋y²dzdx＋z²dxdy＝I₁－I₂， I₁＝[*]x²dydz＋y²dzdx＋z²dxdy＝2[*][(x＋y＋z)dv＝2[*](x＋y)dv 令[*](0≤θ≤π，0≤φ≤π，0≤r≤1)，dv＝2r³sinφdrdθdφ，则 I₁＝4∫₀^πdθ∫₀^π(cosθsin²φ／4＋sinθsin²φ／4＋2sinφ／3)dφ ＝4∫₀^π(πcosθ／8＋πsinθ／8＋4／3)dθ＝19π／3， I₂＝[*]x²dydz＋y²dxdy＋z²dxdy＝[*]y²dzdx＝－[*]dzdx＝－2π，故原式＝19π／3＋2π＝25π／3．

解析

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考研数学一

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