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设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．
设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．
admin
2016-10-26
35
问题
设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(e
x
2
－y
2
)满足方程
=16(x
2
+y
2
)z，求f(u)．
选项
答案
令u=e
x
2
－y
2
，则有 [*] 其中[*]=－2ye
x
2
－y
2
=－2yu． 进而可得 [*]=4x
2
u
2
f″(u)+(2u+4x
2
u)f′(u)， [*]=4y
2
u
2
f″(u)－(2u－4y
2
u)f′(u)． 所以[*]=4(x
2
+y
2
)u
2
f″(u)+4(x
2
+y
2
)uf′(u)． 由题设条件，得 u
2
f″(u)+uf′(u)－4f(u)=0． 这是欧拉方程，令u=e
t
，方程化为 [*]－4z=0(z=f(u))， 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C
1
e
2t
+C
2
e
－2t
，即z=f(u)=C
1
u
2
+[*]，其中C
1
，C
2
为[*]常数．
解析
z=f(e
x
2
－y
2
)是z=f(u)与u=e
x
2
－y
2
的复合函数，由复合函数求导法可导出
与f′(u)，f″(u)的关系式，从而由
=16(x
2
+y
2
)z导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jmu4777K
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