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设向量组α1，α2，α3线性无关，β1＝α1－α2，β2＝α1－α2＋2α3，β3＝2α1－α2＋3α3，证明：β1，β2，β3是线性相关的．
设向量组α1，α2，α3线性无关，β1＝α1－α2，β2＝α1－α2＋2α3，β3＝2α1－α2＋3α3，证明：β1，β2，β3是线性相关的．
admin
2021-10-13
28
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，β
1
＝α
1
－α
2
，β
2
＝α
1
－α
2
＋2α
3
，β
3
＝2α
1
－α
2
＋3α
3
，证明：β
1
，β
2
，β
3
是线性相关的．
选项
答案
令k
1
β
1
＋k
2
β
2
＋k
3
β
3
＝0， (1) 即k
1
(α
2
－α
3
)＋k
2
(α
1
－α
2
＋2α
3
)＋k
3
(2α
1
－α
2
＋3β
3
)＝0， (2) 整理得(k
2
＋2k
3
)α
1
＋(k
1
－k
2
－k
3
)α
2
＋(2k
2
－k
1
＋3k
3
)α
3
＝0， (3) 因α
1
，α
2
，α
3
线性无关， [*] 故齐次线性方程组有非零解，即存在k
1
，k
2
，k
3
不全为零，使(1)式成立． 因此β
1
，β
2
，β
3
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/K7yR777K
本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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