设函数f(x)在区间[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1. 证明:存在ξ∈(0,3),使得f’(ξ)=0.

admin2015-06-26  59

问题 设函数f(x)在区间[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.
    证明:存在ξ∈(0,3),使得f’(ξ)=0.

选项

答案因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,故f(x)在[0,2]取到最大值M和最小值m,显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M,即m≤1≤M,由介值定理,存在c∈[0,2],使得f(c)=1. 因为f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,且f(c)=f(3)=1,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,3)[*](0,3),使得f’(ξ)=0.

解析
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