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若f(x)在(a,b)内具有四阶导数,且 f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),其中a<x0<x1<x2<x3<x4<b. 证明:在(a,b)内至少有一点ζ,使f(4)(ζ)=0.
若f(x)在(a,b)内具有四阶导数,且 f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),其中a<x0<x1<x2<x3<x4<b. 证明:在(a,b)内至少有一点ζ,使f(4)(ζ)=0.
admin
2019-08-27
19
问题
若f(x)在(a,b)内具有四阶导数,且
f(x
0
)=f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=f(x
4
),其中a<x
0
<x
1
<x
2
<x
3
<x
4
<b.
证明:在(a,b)内至少有一点ζ,使f
(4)
(ζ)=0.
选项
答案
证明:由己知f(x)在(a,b)内四阶可导,且f(x
0
)=f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=f(x
4
), 在区间[x
0
,x
1
],[x
1
,x
2
],[x
2
,x
3
],[x
3
,x
4
]上分别运用罗尔定理知,存在α
1
∈(x
0
,x
1
), α
2
∈(x
1
,x
2
),α
3
∈(x
2
,x
3
),α
4
∈(x
3
,x
4
),使得 f'(α
1
)=f'(α
2
)=f'(α
3
)=f'(α
4
)=0又由罗尔定理知,存在 β
1
∈(α
1
,α
2
),β
2
∈(α
2
,α
3
),β
3
∈(α
3
,α
4
),使得: f'(β
1
)=f'(β
2
)=f'(β
3
)=0.再由罗尔定理知,存在γ
1
∈(β
1
,β
2
),γ
2
∈(β
2
,β
3
),使得: f'(γ
1
)=f'(γ
2
)=0,最后利用罗尔定理,知存在ζ∈(a,b),使得f'(ζ)=0.
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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