2. 专升本
  3. 若f(x)在(a，b)内具有四阶导数，且 f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，其中a＜x0＜x1＜x2＜x3＜x4＜b. 证明：在(a，b)内至少有一点ζ，使f(4)(ζ)=0．

若f(x)在(a，b)内具有四阶导数，且 f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，其中a＜x0＜x1＜x2＜x3＜x4＜b. 证明：在(a，b)内至少有一点ζ，使f(4)(ζ)=0．

admin2019-08-27  47
问题 若f(x)在(a，b)内具有四阶导数，且
f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，其中a＜x0＜x1＜x2＜x3＜x4＜b.
证明：在(a，b)内至少有一点ζ，使f(4)(ζ)=0．
选项
答案证明：由己知f(x)在(a，b)内四阶可导，且f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)， 在区间[x0，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上分别运用罗尔定理知，存在α1∈(x0，x1)， α2∈(x1，x2)，α3∈(x2，x3)，α4∈(x3，x4)，使得 f＇(α1)=f＇(α2)=f＇(α3)=f＇(α4)=0又由罗尔定理知，存在 β1∈(α1，α2)，β2∈(α2，α3)，β3∈(α3，α4)，使得： f＇(β1)=f＇(β2)=f＇(β3)=0．再由罗尔定理知，存在γ1∈(β1，β2)，γ2∈(β2，β3)，使得： f＇(γ1)=f＇(γ2)=0，最后利用罗尔定理，知存在ζ∈(a，b)，使得f＇(ζ)=0．
解析
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