设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A—E)及行列式|A+2E|.

admin2015-08-14  82

问题 设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α123
(1)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
(2)若A3β=Aβ,求秩r(A—E)及行列式|A+2E|.

选项

答案(1)设 k1β+k2Aβ+k3A2β=o, ① 由题设Aαiiαi(i=1,2,3),于是 Aβ=Aα1+Aα2+Aα31α12α23α3, A2β=λ12α122α232α3,代入①式整理得 (k1+k2λ1+k3λ121+(k1+k2λ2+k3λ22) α2+(k1+k2λ3+k3λ323=0. 因为α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有[*] 其系数行列式[*]≠0,必有k1=k2=k3=0,故β,Aβ,A2β线性无关. (2)由A3β=Aβ有 A[β,Aβ,A2β]=[Aβ,A2β,A3β]=[Aβ,A2β,Aβ]=[β,Aβ,A2β][*] 令P=[β,Aβ,A2β],则P可逆,且[*] 从而有 r(A—E)=r(B—E)=r[*]=2. |A+2E|=|B+2E|=[*]=6.

解析
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