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设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A—E)及行列式|A+2E|.
设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (2)若A3β=Aβ,求秩r(A—E)及行列式|A+2E|.
admin
2015-08-14
106
问题
设A为3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
.
(1)证明:β,Aβ,A
2
β线性无关;
(2)若A
3
β=Aβ,求秩r(A—E)及行列式|A+2E|.
选项
答案
(1)设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=o, ① 由题设Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3),于是 Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
, A
2
β=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
,代入①式整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
) α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0. 因为α
1
,α
2
,α
3
是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有[*] 其系数行列式[*]≠0,必有k
1
=k
2
=k
3
=0,故β,Aβ,A
2
β线性无关. (2)由A
3
β=Aβ有 A[β,Aβ,A
2
β]=[Aβ,A
2
β,A
3
β]=[Aβ,A
2
β,Aβ]=[β,Aβ,A
2
β][*] 令P=[β,Aβ,A
2
β],则P可逆,且[*] 从而有 r(A—E)=r(B—E)=r[*]=2. |A+2E|=|B+2E|=[*]=6.
解析
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[*]
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