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下面是一位教师对于《函数的单调性》第一课时的教学设计,请结合课程标准理念及教育理论知识进行点评。 一、情境导入 1.通过多媒体播放2008年北京奥运会的盛大场景,向学生提出问题:其实,北京奥运会原定于2008年7月25日召开,由于天气原因,
下面是一位教师对于《函数的单调性》第一课时的教学设计,请结合课程标准理念及教育理论知识进行点评。 一、情境导入 1.通过多媒体播放2008年北京奥运会的盛大场景,向学生提出问题:其实,北京奥运会原定于2008年7月25日召开,由于天气原因,
admin
2016-01-20
74
问题
下面是一位教师对于《函数的单调性》第一课时的教学设计,请结合课程标准理念及教育理论知识进行点评。
一、情境导入
1.通过多媒体播放2008年北京奥运会的盛大场景,向学生提出问题:其实,北京奥运会原定于2008年7月25日召开,由于天气原因,2008年北京奥运会开幕式时间推迟到8月8日,那么专家是如何推断未知的天气情况的呢?通过课堂交流,可以了解到北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事。
2.学生观察北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。
引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.提出问题:观察图形,能得到什么信息?
3.在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的,大家还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
通过三个环节的设置,归纳总结出用函数观点(随着自变量的变化,函数值是变大还是变小)观察图象,看问题,可以帮助我们发现规律,利用规律。
二、归纳探索,形成概念
1.复习:我们在初中已经学习了函数图象的画法,为了研究函数的性质,我们按照列表、描点、连线等步骤分别画出函数y=x
2
和y
3
=的图象,y=x
2
的图象如图1,y=x
3
的图象如
图2
2.引入:引导学生进行分类描述自变量与函数值的变化情况,同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质。
3.尝试:学生分小组进行探究,尝试概括函数单调性的定义,最后由老师给出确切的增函数的定义,由学生类比增函数的定义给出减函数的定义,师生共同总结出函数单调性的定义以及关于函数单调性的注意事项。
定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
,(1)若当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)<f(x
2
),则称f(x)在这个区间上是增函数(如图3);(2)若当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
),则称f(x)在这个区间上是减函数(如图4)。
说明:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数。例如函数y=x
2
(图1),当x∈[0,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,0)时是减函数。
三、精练精解,深化理解
例:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
分析解决问题,针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.由不同层次的学生进行板演,教师进行点评,引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论,这里要注意书写的规范性。
证明:设x
1
,x
2
是R上的任意两个实数,且x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=(3x
1
+2)-(3x
2
+2)=3(x
1
-x
2
),
由x
1
<x
2
,得x
1
-x
2
<0,于是f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
)。
∴f(x)=3x+2在R上是增函数。
四、巩固练习
1.课本P59练习:1,2
答案:f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2];f(x)在区间[-2,-1],[0,1]上是增函数,在区间[-1,0],[1,2]上是减函数。
g(x)的单调区间有[-π,-
]上是增函数。
说明:要了解函数在某一区间是否具有单调性,从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法,严格地说,它需要根据增(减)函数的定义进行证明,下面举例说明。
2.判断函数f(x)=
在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
解设x
1
,x
2
∈(-∞,0),且x
1
<x
2
,
∵f(x
1
)-f(x
2
)=
由x
1
,x
2
∈(-∞,0),得x
1
x
2
>0,
又由x
1
<x
2
,得x
2
-x
1
>0,于是f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
)。
∴f(x)=
在(0,+∞)上是减函数。
能否说函数f(x)=
在(-∞,+∞)上是减函数?
答:不能.因为x=0不属于f(x)=
的定义域。
说明:通过观察图象,对函数是否具有某种性质,作出猜想,然后通过推理的办法,证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。
五、归纳小结
本节课所学到的知识,证明方法,数学思想。
六、课后作业
1.课本第36习题2、4.(必做)
2.证明:函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0,有
>0。(选做)
【板书设计】
函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,(1)若当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)<f(x
2
),则说f(x)在这个区间上是增函数(如图3);(2)若当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x)在这个区间上是减函数(如图4)。
选项
答案
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其他性质提供了方法依据,对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面: (1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的; (2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的,根据以上的分析和课程标准的要求,确定本节课的重点和难点。 该教学设计在教学活动中突出了重点、突破了难点,实现了既定的教学目标,在导入环节,设置了问题情境,并且从时事热点入手,在激发了学生的学习兴趣的同时,也让学生体会到数学在实际生活中的应用,在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入,在巩固新知阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤;在作业环节,考虑到不同学生的差异性,设置分层次作业,在加深对定义的理解的同时,也为用导数研究单调性埋下伏笔,整体而言,这篇教案结构完整,层次鲜明,体现了“学生为主体,教师为主导”的新课标理念。
解析
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