计算二重积分(x2＋y)dσ，其中D是由x2＋y2＝2y的上半圆，直线x＝一1，x＝1及x轴围成的区域．

admin2016-01-25 79

问题计算二重积分

(x²＋y)dσ，其中D是由x²＋y²＝2y的上半圆，直线x＝一1，x＝1及x轴围成的区域．

选项

答案解一设 D₁＝{(x，y)｜一1≤x≤1，0≤Y≤1}， D₂＝{(x，y)｜x₂＋y₂≤2y，y＞1}，则D＝D₁∪D₂，如右图所示．于是 [*] [*] 为计算[*](x²＋y)dσ，可引入极坐标 x＝rcosθ， y一1＝rsinθ，于是D₂＝{(r，θ)｜0≤θ≤π，0≤r≤1)，则有 [*] 综上所述， [*] 解二直接把区域D写成不等式形式： D＝{(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤1＋[*])，从而 [*]

解析将积分区域D分为两部分，分别使用直角坐标和极坐标计算，或者直接在D上使用直角坐标计算．

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考研数学三

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