2. 考研
  3. 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1。证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1。

设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1。证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1。

admin2018-04-14  61
问题 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1。证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1。
选项
答案(Ⅰ)由于f(x)为奇函数，则f(0)=0，由于f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=[*]=1。 (Ⅱ)由于f(x)为奇函数，则f’(x)为偶函数，由(Ⅰ)可知存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1，且f’(－ξ)=1。 令φ(x)=ex[f’(x)－1]，由条件可知φ(x)在[－1，1]上可导，且φ(－ξ)=φ(ξ)=0，由罗尔定理可知，存在η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使得φ’(η)=0，其中eη≠0，即有f"(η)+f’(η)=1。
解析
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考研数学二

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