2. 考研
  3. 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．

admin2013-03-17  50
问题 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；  (Ⅱ)α1，α2，α3，α4；  (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．
选项
答案证明 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3线性表示，即存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3， 设有数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=θ， 将α4代入上式，化简得 (k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=θ， 由r(Ⅲ)=4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以 [*]
解析
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考研数学三

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