设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是

admin2015-09-14 29

问题设矩阵A_m×n的秩为r(A)=m＜n，I_m为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、若矩阵B满足BA=0，则B=0
D、A通过初等行变换，必可以化为[I_m0]的形式

答案C

解析由BA=0知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故m=0的解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m一r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=0．

记n×m矩阵

，则有AQ=I_m于是用Q右乘题设等式BA=0两端，得BAQ=0，即BI_m=0，亦即B=0．

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