欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项是必须假设的? Ⅰ．在同一平面上，过直线外一

admin2021-09-23 49

问题欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。
要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项是必须假设的?
Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。
Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。
Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也可能无法只作一条直线与该直线平行。

选项 A、仅仅Ⅰ。
B、仅仅Ⅱ。
C、仅仅Ⅲ。
D、仅仅Ⅰ和Ⅱ。
E、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

答案C。

解析 Ⅲ项是数学的怀疑能够成立所必须假设的。因为如果该项为假，即如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行并且也不可能无法只作一条直线与该直线平行，也就是说过直线外一点能并且只能作一条直线与该直线平行，这样，欧几里得几何的第五公理成立，数学家的怀疑也就不能成立。Ⅰ项不必须假设。因为即使过直线外一点不可能无法作一条直线与该直线平行，即还是可以作一条直线与该直线平行，这时欧几里得几何的第五公理未必就能成立，所以，数学家的怀疑还是可能成立的。Ⅱ项不必假设。因为即使过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，欧几里得几何的第五公理未必就能成立，所以数学家的怀疑还是可能成立的。

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