2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 在(a，b)内至少存在一点η,且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 在(a，b)内至少存在一点η,且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．

admin2015-07-22  49
问题 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
在(a，b)内至少存在一点η,且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．
选项
答案设F(x)=ex[f’(x)一f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，则 F’(x)=ex[f"(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f"(x)一f(x)]．对F(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)，使得F’(η)=0，故有 f’(η)=f(η)，且η≠ξi(i=1，2)．
解析
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考研数学三

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