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设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在,并求xn.
设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在,并求xn.
admin
2021-06-16
99
问题
设x
n+1
=
(n=1,2,…),x
1
=
,证明
x
n
存在,并求
x
n
.
选项
答案
由于x
1
=[*]<2,x
2
=[*]=2,设当k≥3,k∈N,有x
k
<2,则x
k+1
=[*]=2,故知对于任意正整数n都有x
n
<2,即数列{x
n
}为有界数列,又 x
n
-x
n-1
=[*]-x
n-1
=[*] 其分母大于0,其分子 2+x
n-1
-x
n-1
2
>2+x
n-1
-2x
n-1
=2-x
n-1
>0 故x
n
-x
n-1
>0,即{x
n
}为单调增加且有上界的数列。 由单调有界准则可知数列{x
n
}存在极限。 设[*]x
n
=A,由于x
n
=[*],则有[*]x
n
=[*],A
2
-A-2=0,解得A=2或A=-1,由于x
n
>0,因此A=[*]x
n
≥0,则A=-1应舍去,故[*]x
n
=2.
解析
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考研数学二
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