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设实二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12一y22—y32,又设α=(1,1,1)T满足A*α=α,求A。
设实二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12一y22—y32,又设α=(1,1,1)T满足A*α=α,求A。
admin
2016-03-16
35
问题
设实二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=2y
1
2
一y
2
2
—y
3
2
,又设α=(1,1,1)
T
满足A
*
α=α,求A。
选项
答案
由于f=x
T
Ax经过正交变换化为标准形f=2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
,可知A的特征值为2,—1,一1。又由于A
*
α=α,等式两边同时左乘A可得|A|α=Aα,其中|A|=2,可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。由于A为实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量正交,可知属于特征值一1的特征向量满足x
1
+x
2
+x
3
=0,解得基础解系为β
1
=(1,一1,0)
T
,β
2
=(1,0,一1)
T
。可知β
1
,β
2
即为属于特征值一1的两个线性无关的特征向量。 [*]
解析
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考研数学三
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