设实二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12一y22—y32，又设α=(1，1，1)T满足A*α=α，求A。

admin2016-03-16 44

问题设实二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=2y₁²一y₂²—y₃²，又设α=(1，1，1)^T满足A^*α=α，求A。

选项

答案由于f=x^TAx经过正交变换化为标准形f=2y₁²一y₂²一y₃²，可知A的特征值为2，—1，一1。又由于A^*α=α，等式两边同时左乘A可得｜A｜α=Aα，其中｜A｜=2，可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。由于A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知属于特征值一1的特征向量满足x₁+x₂+x₃=0，解得基础解系为β₁=(1，一1，0)^T，β₂=(1，0，一1)^T。可知β₁，β₂即为属于特征值一1的两个线性无关的特征向量。 [*]

解析

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