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设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,证明:f(x)=ex或f(x)=e-x。
设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,证明:f(x)=ex或f(x)=e-x。
admin
2015-07-15
52
问题
设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是
的一个原函数且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,证明:f(x)=e
x
或f(x)=e
-x
。
选项
答案
证:(1)∵F(x)·G(x)=-1, ∴F’(x)G(x)+F(x)G’(x)=0 [*] →F
2
(x)=f
2
(x)。 (2)讨论,(i)若F(x)=f(x),即 f(x)=f’(x),[*] lnf(x)=x+C
1
,f(x)=Ce
x
由f(0)=1,得C=1 故有f(x)=e
x
(ii)若F(x)=-f(x),即f(x)=-f’(x) →lnf(x)=-x+C
2
,f(x)=Ce
-x
由f(0)=1,得C=1。 故有f(x)=e
-x
证毕。
解析
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本试题收录于:
数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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