设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e-x。

admin2015-07-15 25

问题设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是

的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=e^x或f(x)=e^-x。

选项

答案证：(1)∵F(x)·G(x)=-1， ∴F’(x)G(x)+F(x)G’(x)=0 [*] →F²(x)=f²(x)。 (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 f(x)=f’(x)，[*] lnf(x)=x+C₁，f(x)=Ce^x 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=e^x (ii)若F(x)=-f(x)，即f(x)=-f’(x) →lnf(x)=-x+C₂，f(x)=Ce^-x 由f(0)=1，得C=1。故有f(x)=e^-x证毕。

解析

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