已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．

admin2011-10-28 108

问题已知向量组(Ⅰ)α₁，α₂，α₃； (Ⅱ)α₁，α₂，α₃，α₄； (Ⅲ)α₁，α₂，α₃，α₅．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4 ．

选项

答案证明因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，所以α₁，α₂，α₃线性无关，而α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，所以α₄可由α₁，α₂，α₃线性表示，即存在数λ₁，λ₂，λ₃，使得 α₄=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，设有数k₁，k₂，k₃，k₄，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄(α₅-α₄)=θ，将α₄代入上式，化简得 (k₁-λ₁k₄)α₁+(k₂-λ₂k₄)α₂+(k₃-λ₃k₄)α₃+k₄α₅=θ，由r(Ⅲ)=4知α₁，α₂，α₃，α₅线性无关，所以 [*]

解析

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考研数学三

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已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．

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