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已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ)α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4 .
已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ)α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4 .
admin
2011-10-28
125
问题
已知向量组(Ⅰ)α
1
,α
2
,α
3
; (Ⅱ)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
; (Ⅲ)α
1
,α
2
,α
3
,α
5
.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4 .
选项
答案
证明 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,所以α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即存在数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
, 设有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
-α
4
)=θ, 将α
4
代入上式,化简得 (k
1
-λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
-λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
-λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=θ, 由r(Ⅲ)=4知α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,所以 [*]
解析
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考研数学三
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