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罗尔定理:设函数f(χ)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。
罗尔定理:设函数f(χ)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。
admin
2017-05-24
49
问题
罗尔定理:设函数f(χ)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。
选项
答案
因f(χ)在闭区间[a,b]上连续,所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。 (1)若M=m,则f(χ)在[a,b]上是常数f(χ)=M,χ∈[a,b]。从而f′(χ)=0,因此,任取ξ∈(a,b)都有f′(ξ)=0。 (2)若M≠m,则M,m中至少有一个不等于f(a),不妨设f(a)≠M。因此,函数f(χ)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证f′(ξ)=0。 由于f(χ)在ξ处取最大值,所以不论△χ为正或为负,总有f(ξ+△χ)-f(ξ)≤0。当△χ>0时,[*]≤0,f
+
′
(ξ)=[*]≤0;同理,当△χ<0时,[*]≥0,f
-
′
(ξ)=[*]≥0。 根据题意,f(χ)在ξ点处可导,所以f′(ξ)=f
+
′
(ξ)=f
-
′
(ξ)=0。得证。 几何意义:设y=f(χ)是一条连续光滑的曲线,并且在点A、B处的纵坐标相等,即f(a)=f(b),如图,那么我们容易看出,在弧AB上至少有一点C(ξ,f′(ξ)),曲线在C点有水平切线。 [*]
解析
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数学学科知识与教学能力
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