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  3. 罗尔定理：设函数f(χ)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)＝f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝0。证明这个定理并说明其几何意义。

罗尔定理：设函数f(χ)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)＝f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝0。证明这个定理并说明其几何意义。

admin2017-05-24  50
问题 罗尔定理：设函数f(χ)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)＝f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝0。证明这个定理并说明其几何意义。
选项
答案因f(χ)在闭区间[a，b]上连续，所以在[a，b]上一定取到最大值M和最小值m。 (1)若M＝m，则f(χ)在[a，b]上是常数f(χ)＝M，χ∈[a，b]。从而f′(χ)＝0，因此，任取ξ∈(a，b)都有f′(ξ)＝0。 (2)若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M。因此，函数f(χ)在内(a，b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证f′(ξ)＝0。 由于f(χ)在ξ处取最大值，所以不论△χ为正或为负，总有f(ξ＋△χ)－f(ξ)≤0。当△χ＞0时，[*]≤0，f+′(ξ)＝[*]≤0；同理，当△χ＜0时，[*]≥0，f-′(ξ)＝[*]≥0。 根据题意，f(χ)在ξ点处可导，所以f′(ξ)＝f+′(ξ)＝f-′(ξ)＝0。得证。 几何意义：设y＝f(χ)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f(a)＝f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C(ξ，f′(ξ))，曲线在C点有水平切线。 [*]
解析
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