2. 考研
  3. 设3阶交对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设3阶交对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2013-03-29  55
问题 设3阶交对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案由Aα=λα知Anα=λnα．那么 Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1， 所以α1是矩阵B属于特征值μ1=-2的特征向量． 类似地，若Aα2=λ2α2，Aα3λ3α3，有 Bα2=(λ25-4λ23+1)α2=α2，Bα3=(λ35-4λ33+1)α3=α3， 因此，矩阵B的特征值为μ1=-2，μ2=μ3=1． 由矩阵A是对称矩阵知矩阵B也是对称矩阵，设矩阵B属于特征值μ=1的特征向量是β=(x1，x2，x3)T，那么 α1Tβ=x1-x2+x3=0． 所以矩阵B属于特征值μ=1的线性无关的特征向量是β2=(1，1，0)T，β3=(-1，0，1)T 因而，矩阵B属于特钲值μ1=-2的特征向量是k1(1，-1，1)T，其中k1是不为0的任意常数. 矩阵B属于特征值μ=1的特征向最是k2(1，1，0)T+k3(-1，0，1)T，其中k2，k3是不全为0的任意常数．
解析
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考研数学三

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