设函数f在区间I上连续，证明：若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；

admin2022-10-31 53

问题设函数f在区间I上连续，证明：
若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；

选项

答案设x₀为I中的任一无理数，由有理数的稠密性知，存在有理数列{r_n}[*]I，使r_n→x₀(n→∞)．由f的连续性得[*]f(r_n)=f(x₀)，又∵f(r_n)=0(n=1，2，…)．∴f(x₀)=0．当r∈I为有理数时，f(x)也为0．于是，在I上f(x)≡0．

解析

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考研数学三

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