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设函数f在区间I上连续，证明： 若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；
设函数f在区间I上连续，证明： 若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；
admin
2022-10-31
85
问题
设函数f在区间I上连续，证明：
若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；
选项
答案
设x
0
为I中的任一无理数，由有理数的稠密性知，存在有理数列{r
n
}[*]I，使r
n
→x
0
(n→∞)．由f的连续性得[*]f(r
n
)=f(x
0
)，又∵f(r
n
)=0(n=1，2，…)．∴f(x
0
)=0．当r∈I为有理数时，f(x)也为0．于是，在I上f(x)≡0．
解析
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考研数学三
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