假设父母和一个孩子之间进行如下博弈,孩子采取行动A,给孩子带来收入为IC(A),给父母带来收入为Ip(A),其中IC(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入IC和Ip后,选择留给孩子遗产收入B,此时孩子的效用为U(IC+B),父母的效用为V(IC

admin2019-09-09  28

问题 假设父母和一个孩子之间进行如下博弈,孩子采取行动A,给孩子带来收入为IC(A),给父母带来收入为Ip(A),其中IC(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入IC和Ip后,选择留给孩子遗产收入B,此时孩子的效用为U(IC+B),父母的效用为V(IC-B)+kU(IC+B),k>0,k表示父母对孩子的关心程度。假设A≥0,收入函数IC(A)和Ip(A)是严格凹的,且分别在AC>0,Ap>0时取得最大值。遗产可以为正,也可以为负,效用函数U,V都是递增的严格凹的函数。证明:在子博弈完美均衡中,孩子选择的行动将使家庭收入IC(A)+Ip(A)最大化。(2016年复旦大学856经济学综合基础)

选项

答案假设家庭收入为I,即I=Ic+Ip。那么家庭收入最大化的一阶条件为 I’(A)=I’c(A)+I’p(A)=0 (1) 因为父母是在孩子作出行动A后,按照自身目标函数的最大化决定行动B的数值。可以参照价格领导模型,先写出父母对孩子决策的反应函数,再将反应函数代入孩子的最大化决策中,来确定孩子的最大化抉择。 由题意可得,父母的目标函数为 max{V(Ip-B)+kU(Ic+B)) (2) 对目标函数求关于B的一阶导数,由此可以得到父母对孩子决策A的反应函数 -V’(Ip-B)+kU’(Ic+B)=0 (3) 从而孩子的目标函数为 maxU(Ic+B) (4) 则孩子的最大化决策为 [*] 将(3)式对A求导,可得 [*] 代入(5)得 [*] 可以看出与家庭收入最大化一阶条件相符,故原命题得证,即孩子的决策和家庭总收入最大化相一致。

解析
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