若二阶常系数线性齐次微分方程y〞＋ay′＋by＝0的通解为y＝(c1＋c2χ)eχ，则非齐次方程y〞＋ay′＋by＝χ满足条件y(0)＝0，y′(0)＝0的解为y＝_______．

admin2016-03-16 19

问题若二阶常系数线性齐次微分方程y〞＋ay′＋by＝0的通解为y＝(c₁＋c₂χ)e^χ，则非齐次方程y〞＋ay′＋by＝χ满足条件y(0)＝0，y′(0)＝0的解为y＝_______．

选项

答案y＝(χ－2)e^χ＋χ＋2．

解析由于齐次方程y〞＋ay′＋by＝0的通解为y＝(c₁＋c₂χ)e^χ，可知特征方程λ²＋αλ＋b＝0有二重特征根1，故特征方程为完全平方式(λ－1)²＝0，对比可知a＝－2，b＝1．我们要计算的是y〞－2y′＋y＝χ的解，由于已经知道齐次方程的通解，故设非齐次方程的特解y^*＝Aχ＋B，代人方程中可得A＝1，B＝2．故方程y〞－2y′＋y＝χ的通解为y＝(c₁＋c₂χ)e^χ＋χ＋2，再由y(0)＝0，y′(0)＝0可得c₁＝－2，c₂＝1，可知y＝(χ－2)e^χ＋χ＋2．

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考研数学二

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若二阶常系数线性齐次微分方程y〞＋ay′＋by＝0的通解为y＝(c1＋c2χ)eχ，则非齐次方程y〞＋ay′＋by＝χ满足条件y(0)＝0，y′(0)＝0的解为y＝_______．

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