设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ① 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ② 求(A一3E)6．

admin2016-07-21 70

问题设二次型x^TAx=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵

满足AB=0．
① 用正交变换化x^TAx为标准形，写出所作变换．
② 求(A一3E)⁶．

选项

答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q^一1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．)求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α₁=(1，0，1)^T，α₂=(2，一1，0)^T作施密特正交化：[*] 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α₁，α₂都正交，即是方程组[*]的非零解，求出α₃=(1，2，一1)^T是属于6的一个特征向量，单位化[*] 记Q=(η₁，η₂,η₃)，则Q是正交矩阵，[*] 作正交变换x=Qy，它x^TAx化为标准二次型6y₃²．②A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)⁶的3个特征值都是3⁶．于是(A一3E)⁶~3⁶E →(A一3E)⁶=3⁶E．

解析

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考研数学二

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设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ① 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ② 求(A一3E)6．

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