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  3. 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ① 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ② 求(A一3E)6．

设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． ① 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换． ② 求(A一3E)6．

admin2016-07-21  59
问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0．
①  用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．
②  求(A一3E)6．
选项
答案[*] ①先作正交矩阵Q，使得Q一1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．)求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，一1，0)T作施密特正交化：[*] 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交，即是方程组[*]的非零解，求出α3=(1，2，一1)T是属于6的一个特征向量，单位化[*] 记Q=(η1，η2,η3)，则Q是正交矩阵，[*] 作正交变换x=Qy，它xTAx化为标准二次型6y32．②A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)6的3个特征值都是36．于是(A一3E)6~36E →(A一3E)6=36E．
解析
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考研数学二

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