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已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
admin
2013-03-29
38
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=4x
2
2
-3x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
.
用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
选项
答案
由A的特征方程 [*] [*]=(λ-1)(λ
2
-36)=0, 得到A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=6,λ
3
=-6. 由(E-A)x=0得基础解系α
1
=(2,0,-1)
T
,即属于λ=1的特征向量. 由(6E-A)x=0得基础解系α
2
=(1,5,2)
T
,即属于λ=6的特征向量. 由(-6E-A)x=0得基础解系α
3
=(1,-1,2)
T
,即属于λ=-6的特征向量. 对于实对称矩阵,特征值不同特征向最已正交,故只需单位化,有 γ
1
=α
1
/丨丨α
1
丨丨[*] γ
2
=α
2
/丨丨α
2
丨丨[*] γ
3
=α
3
/丨丨α
3
丨丨[*] 那么,令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],经正交变换[*],二次型化为标准形 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=y
1
2
+6y
2
2
1
2
-6y
3
2
.
解析
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0
考研数学三
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