2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

admin2013-03-29  57
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
选项
答案由A的特征方程 [*] [*]=(λ－1)(λ2－36)=0， 得到A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=-6． 由(E-A)x=0得基础解系α1=(2，0，-1)T，即属于λ＝1的特征向量． 由(6E-A)x=0得基础解系α2=(1，5，2)T，即属于λ＝6的特征向量． 由(-6E-A)x=0得基础解系α3=(1，-1，2)T，即属于λ=－6的特征向量． 对于实对称矩阵，特征值不同特征向最已正交，故只需单位化，有 γ1=α1/丨丨α1丨丨[*] γ2=α2/丨丨α2丨丨[*] γ3=α3/丨丨α3丨丨[*] 那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，经正交变换[*]，二次型化为标准形 f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=y12+6y2212-6y32．
解析
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考研数学三

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