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设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数),且f(1)=1,由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1,y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为. (1)求函数f(x)的表达式; (2)求平面图形
设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数),且f(1)=1,由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1,y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为. (1)求函数f(x)的表达式; (2)求平面图形
admin
2012-01-13
84
问题
设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数),且f(1)=1,由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1,y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为
.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积V
x
;
(3)求平面图形D绕Y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V
y
.
选项
答案
(1)f(x)=-ax
2
+(a+1)x [*]
解析
(1)根据题意得f’(x)-
f(x)=-(a+1)所以
已知f(1)=1,则cx
2
+(a+1)x/x=1=1,则c=-a,即有f(x)=-ax
2
+(a+1)x,令 -ax
2
+(a+1)x=0得x=0,x=1+
,则有S=∫
0
1
[-ax
2
+(a+1)x]dx=
解上式得a=1,易知曲线与横轴交点为x=2,则f(x)=-x
2
+2x.
(2)根据上述计算,因为f(x)=-x
2
+x,所以
(3)同理,因为f(x)=-x
2
+2x,所以x=
则
式中的f(x)即为y,所以
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数学题库普高专升本分类
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数学
普高专升本
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