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设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,ι,向量组α1+kα3,α2+ια3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的 【 】
设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,ι,向量组α1+kα3,α2+ια3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的 【 】
admin
2015-09-12
59
问题
设α
1
,α
2
,α
3
均为3维向量,则对任意常数k,ι,向量组α
1
+kα
3
,α
2
+ια
3
线性无关是向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关的 【 】
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
解1 记向量组(Ⅰ):α
1
+kα
3
,α
2
+ια
3
;
向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,α
3
.
(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的,写成矩阵形式即是:
当(Ⅱ)线性无关时,矩阵[α
1
,α
2
,α
3
]为列满秩的.由于用列满秩阵左乘矩阵后,矩阵的秩不变,而矩阵
的秩为2,所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2,也就是该矩阵的列秩为2,从而知向量组(Ⅰ)线性无关,所以,(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件.
但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件,例如当k=ι=0时,(Ⅰ)线性无关即向量组α
1
,α
2
线性无关,却不能保证(Ⅱ)线性无关.
解2 设有常数x
1
,x
2
,使得
x
1
(α
1
+kα
3
)+x
2
(α
2
+ια
3
)=0即
x
1
α
1
+x
2
α
2
+(x
1
k+x
2
ι)α
3
=0,若(Ⅱ)线性无关,则x
1
=x
2
=x
1
k+x
2
ι=0,故由定义知(Ⅰ)线性无关.但若(Ⅰ)线性无关,(Ⅱ)却未必线性无关,例如α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
,α
3
=0.则(Ⅰ)线性无关,但(Ⅱ)却线性相关.因此,(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要非充分条件.
本题主要考查判别向量组线性相关或线性无关的基本方法.注意要弄清何谓必要条件、何谓充分条件,若P、Q均为命题或条件,若能由P推出Q.则称Q为P的必要条件,而P为Q的充分条件;若P与Q能互相推出,则称Q为P的充分必要条件.
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考研数学三
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