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设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k<n. (I)求二次型xTAx的规范形; (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求行列式|B|的值.
设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k<n. (I)求二次型xTAx的规范形; (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求行列式|B|的值.
admin
2015-04-30
60
问题
设n阶实对称矩阵A满足A
2
=E,且秩r(A+E)=k<n.
(I)求二次型x
T
Ax的规范形;
(Ⅱ)证明B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
是正定矩阵,并求行列式|B|的值.
选项
答案
(Ⅰ)设λ为矩阵A的特征值,对应的特征向量为α,即Aα=λα,α≠0,则A
2
α=λ
2
α由于A
2
=E,从而(λ
2
一1)α=0.又因α≠0,故有λ
2
一1=0,解得λ=1或A=一1. 因为A是实对称矩阵,所以必可对角化,且秩r(A+E)=k,于是 [*] 那么矩阵A的特征值为:1(k个),一1(n一k个). 故二次型x
T
Ax的规范形为y
1
2
+…+y
k
2
一y
k+1
2
一…一y
n
2
. (Ⅱ)因为A
2
=E,故 B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
=3E+2A. 所以矩阵B的特征值是:5(k个),1(n—k个).由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵,因此B是正定矩阵,且|B|=5
k
×1
n-k
=5
k
.
解析
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0
考研数学三
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