2. 考研
  3. 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)． 求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)． 求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．

admin2017-12-23  44
问题 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．
    求：(1)二次型XTAX的标准形；
    (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．
选项
答案(1)因为A2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为0或者1， 因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0 (n－r重)，则二次型XTAX的标准形为y12＋y22＋…＋yr2． (2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故 ｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r．
解析
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考研数学二

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