证明n阶矩阵相似。

admin2015-09-14 34

问题证明n阶矩阵

相似。

选项

答案证[*] 所以A与B有相同的特征值λ₁=n，λ_n=0(n—1重)。由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ₂E一B)=r(B)=1，所以B的对应于特征值λ₂=0有n一1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A。再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似。

解析本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件。本题中计算行列式|AE-A|可以利用行(列)和相等行列式的计算方法。求实对称矩阵A的特征值还可以用下法：因为A的秩为1．所以A只有一个非零特征值λ₁，其它特征值均为0：λ₂=…=λ_n=0，再由λ₁+λ₂+…+λ_n=(A的对角元之和)λ₂，知λ₁=n。本题证法是一个构造性的证明，当λ₂≤4时计算满足P^-1AP=B的矩阵P都是比较容易的，当然P不是唯一的。

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考研数学三

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